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畢氏律、純律、十二平均律

作者: sixersai (暱稱) 看板: NTU_RockClub標題: 補一下講義:律制時間: Sat Apr  1 02:15:25 2006律制(intonation)一、畢氏律相傳音律最早是由畢達哥拉斯(Pythagoras,約585-500B.C.)所發明的,他從打鐵鋪與單弦琴的弦長比例得到靈感,發現弦長成簡單整數比的時候發出的音會是和諧悅耳的,他發現在固定張力的弦長比例是2:1、3:2、4:3的時候,其音程分別是八度、五度、四度,由此他定義出舉世聞名的「畢氏律」為什麼弦的長度比例成簡單整數比的時候,所發出的聲音也愈和諧呢?今天我們知道弦長跟頻率是成反比的,也就是音跟音之間的頻率比例如果越簡單(簡單整數),那麼發出的聲音越和諧.為什麼?我們可以試著用現代物理學來解釋:波在振動的時候會和頻率為其整數倍的波之間發生共振,在波為聲音的情況下,這些頻率為原來倍數的波稱為泛音(overtone)。當兩個音的頻率互為簡單整數比,兩組泛音中就會有比較多是重複的,容易產生共鳴,而奇奇怪怪頻率的干涉波也會比較少。畢達哥拉斯訂定音律的方式與他相信「萬物皆整數」且每個數字皆有其特殊涵義有關,因為「七」這個數字在畢氏學派中的神秘重要性,於是他決定音階該有七個音。他所訂定音律的方法是從1的弦長出發,不斷的升高或降低五度(即將弦長乘或除以2/3),然後再以升高或降低八度的方式(即將弦長乘或除以1/2)將音高拉回1:2的八度間,就可以得到所謂的畢氏音階(除了主要的七個音之外,還多了五個音作為變化用)。這就是所謂的「五度相生律」。其比例如下:        Do : Re : Mi   : Fa : Sol : La   :Si     : Do頻率比  1  : 9/8: 81/64: 4/3: 3/2 : 27/16:243/128: 2雖然大部分人都認為畢達哥拉斯是音律最早的發明者,但其實中國發現音律的時間可能比畢氏還要來的早,在戰國年間《管子》一書中的《地員篇》就有記載了「三分損益法」,其原理與畢氏的「五度相生律」其實是相同的,所採用的方法是三分損一(減去三分之一長)三分益一(增加三分之一長),也是利用五度(2/3)的增減來求得音律。而其頻率比如下: 宮音  商音   角音    徵音   羽音=  1 : 9/8  : 81/64 : 3/2  : 27/16細看我們就可以發現宮商角徵羽和畢氏音階的Do Re Mi SolLa相同。不過中國的五聲音階較畢氏音階少了Fa與Si兩個音,但事實上因為角音與徵音之間、羽音與宮音之間的音程過大,所以周公曾增加了變宮(Si)與變徵(Fa)兩個半音作為輔助,將傳統的五聲音階擴充到七聲音階,只是因為習慣所以還是多以傳統五聲音階為主。而因為在方法上和畢氏還是略有差異,所以所求得的音階與畢氏音律稍有不同,以宮音對應於西洋的C,則七聲音階對應的是CDEF#GAB,變徵相當於升Fa。二、純律雖然音律的發明是一大進步,但是畢達哥拉斯所推算出的畢氏音階在實際的使用上讓音樂家們碰到了一些困難,因為畢達哥拉斯利用八度和五度來定義音階,使得有些音的比例仍然過於複雜,這樣彈奏出的音樂事實上是有一些不和諧的。為了改良畢氏音階中的這些缺點,托勒密(C.Ptolemy,85-165A.D.)便利用自然音程的比例(大三和絃,弦長比15:12:10,頻率比4:5:6)改正畢氏音階大三度和小三度的不正確,更加貫徹了調和就是簡單整數比的原則。另外值得注意的是直到中世紀西方才為這七個音調冠上字母音名,即今日常見的CDEFGAB。托勒密所定的純律之頻律比如下:Do :  Re :  Mi :  Fa : Sol :  La :  Si  : Do=  1 : 9/8 : 5/4 : 4/3 : 3/2 : 5/3 : 15/8 :  2把它在擴充到12個音,其頻率比為:C   C#    D   Eb  E   F   F#    G   Ab  A   Bb  B    C1/1 16/15 9/8 6/5 5/4 4/3 45/32 3/2 8/5 5/3 9/5 15/8 2/1由於基本的和聲其構成音的頻率比值都是簡單的比例,純律可能是所有的律制中可以讓單一的和聲達到最大和諧效果的一種,因此即使是今天,還是有不少人在使用純律演奏。三、十二平均律純律改正了畢氏音律中某些音不夠準的缺點,但是還是保留了它的另一項缺點,純律與畢氏音律都是不平均律,這代表不論純律或畢氏音律在音與音間的音程每個都有差異,有著不同音程的全音同時存在。這在以Do(C)為主音的調式中不成問題,但如果要轉調將主音移到其他音上的話,這樣聽起來的音樂是十分不悅耳的,甚至在不同樂器一起演奏的和諧度上也有其限制在。分別以C,D為主音用純律演算出的七聲音階頻率:以C為主音              以D為主音唱名    音名    頻率    唱名     音名   頻率Do      C       512     -       -       -Re      D       576     Do      D       576Mi      E       640     Re      E       648Fa      F       683     Mi      F#      720Sol     G       768     Fa      G       768La      A       853     Sol     A       864Si      B       960     La      B       960Do      C’     1024    Si      C’#    1080單位:赫茲Hz  純律與畢氏音律這種不平均律的性質是來自於他們都建立在三度或五度音程上,無論由哪個音出發,升高或降低多少次的三度或五度音都無法達到出發音八度的整數倍,這是因為前面提到2與3是互質的,而就是造成無法轉調演奏的主要原因。  所以在1691年,有一位日耳曼的風琴師Werckmeister發表了一篇文章《將鍵盤樂器調成平均律的數學》中首次提出了十二平均律。這個想法非常的單純:把一個八度音程等比例分成12份,平均分給12個半音,每一等分之間相差一個相等的比例。我們知道這樣就是一個等比級數,每個音之間的比例是12次根號2。如果C是1的話C#就是12√2、D是(12√2)2、D#是(12√2)3、...第13個音的頻率是(12√2)的12次=2,也就是高八度的C,如此獲得的每個音間隔就都相等、不管怎麼轉調比例都不變,而且和每個音和純律的相差也不太大。若是以A=440Hz為標準(1939年倫敦國際會議所訂下),純律與平均律的相較頻率差別如下:音高       中央C  D    E     F     G     A   B     高音C純律       264   297   330   352   396   440 495   528十二平均律 261.6 293.7 329.6 349.3 392.1 440 493.9 523.2(單位:Hz)但是又有一個問題:我們不是說音律要定成簡單整數比和聲才會和諧嗎?可是二的非整數有理數次方是不可能為有理數的。所以十二平均律的和聲其實是不完美的和聲,一開始也因此引起很多音樂家大力反對。他們認為照平均律彈出來的和聲根本就不是完美的和聲。然而十二平均律對轉調,以及樂器的演奏及製作上的確有難以取代的方便性,也是因為十二平均律的發明,現代鋼琴才可能產生,巴哈為了推廣十二平均律還寫了著名的平均律鋼琴曲集。不過在現代純律仍然有很多人採用(尤其是管絃樂團),畢竟純律可以說是律制中最和諧的一種。為了兼顧轉調的方便性,與音階的和諧性,以十二平均律為轉調基礎(基音),以純律為相對音階關係修正,是常被應用的方式。這樣的修正在弦樂:提琴類無品相音階,與吹管類俯仰口風都是容易達成修正,唯有鋼琴是無法在演奏中修正音階成純律者,這就是為什麼有人說"鋼琴是管絃樂中和聲混亂的根源"。另外附上演奏時可以參考的修正指標:3/2  ->    Sol+  1.96%4/3  ->    Fa -  1.96%5/4  ->    Mi - 13.69%7/4  ->   #La - 31.18%6/5  ->   #Re + 15.64%7/5  ->   #Fa - 17.49%8/5  ->   #Sol+ 13.68%9/5  ->   #La + 17.60%9/8  ->    Re +  3.91%15/8  ->  Si - 11.73%16/15 ->  #Do + 11.73%45/32 ->  #Fa -  9.77%
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